Jardinière optimisée

Modifié par Clemni

Pour aménager un jardin, on souhaite installer des jardinières sphériques.

Un bac cylindrique est installé à l'intérieur d'un pot sphérique. Le constructeur souhaite déterminer les dimensions du bac à installer à l'intérieur qui maximisent la quantité de terreau que l'on peut y déposer.

On modélise la jardinière comme une sphère de rayon \(R=9 \ \text d\text m\) dans laquelle on inscrit un cylindre. Cela signifie que les deux bases circulaires du cylindre sont des sections de la sphère.
Appelons \(r\) le rayon en décimètres de chacune des deux bases du cylindre et \(2h\) sa hauteur en décimètres.

Pour simplifier le modèle, on considère la sphère entière (sans l'ouverture pour les fleurs) et le bac cylindrique à son intérieur comme schématisé dans la figure suivante.

1. Expliquer pourquoi on a la relation \(R^2=r^2+h^2\) . En déduire l'expression de  \(h\)  en fonction de  \(r\) .

2. Justifier que \(r\) appartient à l'intervalle \([0; 9]\) .

3. Démontrer que le volume \(V\) du cylindre en fonction de \(r\) s'écrit \(V(r)=2\pi r^2\sqrt{81-r^2}\) .

4. Étudier les variations de la fonction  \(V\) sur \([0 \ ; 9]\) .

5. En déduire les dimensions du cylindre qui maximisent la quantité de terreau dans le bac. Donner alors une valeur approchée au dm près du volume de terreaux nécessaire.

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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